基础数学示例

$(\sqrt{3 m n^{3}} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $3 m n^{3}$ 重写为 $n^{2} \cdot (3 m n)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

因式分解出 $n^{2}$ 。

$(\sqrt{3 m (n^{2} n)} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.1.2

移动 $m$ 。

$(\sqrt{3 n^{2} m n} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.1.3

将 $3$ 和 $n^{2}$ 重新排序。

$(\sqrt{n^{2} \cdot 3 m n} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.1.4

添加圆括号。

$(\sqrt{n^{2} \cdot 3 (m n)} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.1.5

添加圆括号。

$(\sqrt{n^{2} \cdot (3 m n)} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.2

从根式下提出各项。

$(n \sqrt{3 m n} - \sqrt{5 n^{7}}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.3

将 $5 n^{7}$ 重写为 ${(n^{3})}^{2} \cdot (5 n)$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因式分解出 $n^{6}$ 。

$(n \sqrt{3 m n} - \sqrt{5 (n^{6} n)}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.3.2

将 $n^{6}$ 重写为 ${(n^{3})}^{2}$ 。

$(n \sqrt{3 m n} - \sqrt{5 ({(n^{3})}^{2} n)}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $5$ 和 ${(n^{3})}^{2}$ 重新排序。

$(n \sqrt{3 m n} - \sqrt{{(n^{3})}^{2} \cdot 5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.3.4

添加圆括号。

$(n \sqrt{3 m n} - \sqrt{{(n^{3})}^{2} \cdot (5 n)}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.1.4

从根式下提出各项。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 n^{7}})$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

将 $5 n^{7}$ 重写为 ${(n^{3})}^{2} \cdot (5 n)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

因式分解出 $n^{6}$ 。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 (n^{6} n)})$

解题步骤 1.2.1.2

将 $n^{6}$ 重写为 ${(n^{3})}^{2}$ 。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{5 ({(n^{3})}^{2} n)})$

解题步骤 1.2.1.3

将 $5$ 和 ${(n^{3})}^{2}$ 重新排序。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{{(n^{3})}^{2} \cdot 5 n})$

解题步骤 1.2.1.4

添加圆括号。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + \sqrt{{(n^{3})}^{2} \cdot (5 n)})$

解题步骤 1.2.2

从根式下提出各项。

$(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(n \sqrt{3 m n} - n^{3} \sqrt{5 n}) (\sqrt{3 m} + n^{3} \sqrt{5 n})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$n \sqrt{3 m n} (\sqrt{3 m} + n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} (\sqrt{3 m} + n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$n \sqrt{3 m n} \sqrt{3 m} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} (\sqrt{3 m} + n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$n \sqrt{3 m n} \sqrt{3 m} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

乘以 $n \sqrt{3 m n} \sqrt{3 m}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$n \sqrt{3 m (3 m n)} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$n \sqrt{9 m (m n)} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.1.3

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$n \sqrt{9 (m^{1} m) n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.1.4

对 $m$ 进行 $1$ 次方运算。

$n \sqrt{9 (m^{1} m^{1}) n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$n \sqrt{9 m^{1 + 1} n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$n \sqrt{9 m^{2} n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.2

将 $9 m^{2} n$ 重写为 ${(3 m)}^{2} n$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$n \sqrt{3^{2} m^{2} n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.2.2

将 $3^{2} m^{2}$ 重写为 ${(3 m)}^{2}$ 。

$n \sqrt{{(3 m)}^{2} n} + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.3

从根式下提出各项。

$n (3 m \sqrt{n}) + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 n (m \sqrt{n}) + n \sqrt{3 m n} (n^{3} \sqrt{5 n}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $n^{3}$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{3} n \sqrt{3 m n} \sqrt{5 n} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.5.2

将 $n^{3}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.1.5.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{3} n^{1} \sqrt{3 m n} \sqrt{5 n} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{3 + 1} \sqrt{3 m n} \sqrt{5 n} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{3 m n} \sqrt{5 n} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6

乘以 $n^{4} \sqrt{3 m n} \sqrt{5 n}$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{5 n (3 m n)} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 n (m n)} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6.3

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 (m (n^{1} n))} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6.4

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 (m (n^{1} n^{1}))} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 (m n^{1 + 1})} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 (m n^{2})} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.7

将 $15 m n^{2}$ 重写为 $n^{2} \cdot (15 m)$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

移动 $m$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{15 n^{2} m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.7.2

将 $15$ 和 $n^{2}$ 重新排序。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{n^{2} \cdot 15 m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.7.3

添加圆括号。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} \sqrt{n^{2} \cdot (15 m)} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.8

从根式下提出各项。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{4} (n \sqrt{15 m}) - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.9

通过指数相加将 $n^{4}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

移动 $n$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n \cdot n^{4} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.9.2

将 $n$ 乘以 $n^{4}$ 。

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解题步骤 3.1.9.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{1} n^{4} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{1 + 4} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.9.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.10

乘以 $- n^{3} \sqrt{5 n} \sqrt{3 m}$ 。

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解题步骤 3.1.10.1

使用根数乘积法则进行合并。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{3 m (5 n)} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.10.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{3} \sqrt{5 n} (n^{3} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.11

通过指数相加将 $n^{3}$ 乘以 $n^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.11.1

移动 $n^{3}$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - (n^{3} n^{3}) \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$

解题步骤 3.1.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{3 + 3} \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$

解题步骤 3.1.11.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$

解题步骤 3.1.12

乘以 $- n^{6} \sqrt{5 n} \sqrt{5 n}$ 。

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解题步骤 3.1.12.1

对 $\sqrt{5 n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} ({\sqrt{5 n}}^{1} \sqrt{5 n})$

解题步骤 3.1.12.2

对 $\sqrt{5 n}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} ({\sqrt{5 n}}^{1} {\sqrt{5 n}}^{1})$

解题步骤 3.1.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {\sqrt{5 n}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.1.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {\sqrt{5 n}}^{2}$

解题步骤 3.1.13

将 ${\sqrt{5 n}}^{2}$ 重写为 $5 n$ 。

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解题步骤 3.1.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 n}$ 重写成 ${(5 n)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {({(5 n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.1.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {(5 n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.1.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.1.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.13.4.1

约去公因数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {(5 n)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.1.13.4.2

重写表达式。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} {(5 n)}^{1}$

解题步骤 3.1.13.5

化简。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - n^{6} (5 n)$

解题步骤 3.1.14

使用乘法的交换性质重写。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 1 \cdot 5 n^{6} n$

解题步骤 3.1.15

通过指数相加将 $n^{6}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.1.15.1

移动 $n$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 1 \cdot 5 (n \cdot n^{6})$

解题步骤 3.1.15.2

将 $n$ 乘以 $n^{6}$ 。

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解题步骤 3.1.15.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 1 \cdot 5 (n^{1} n^{6})$

解题步骤 3.1.15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 1 \cdot 5 n^{1 + 6}$

解题步骤 3.1.15.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 1 \cdot 5 n^{7}$

解题步骤 3.1.16

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$3 n (m \sqrt{n}) + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 5 n^{7}$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

移动 $n$ 。

$3 m n \sqrt{n} + n^{5} \sqrt{15 m} - n^{3} \sqrt{15 m n} - 5 n^{7}$

解题步骤 3.2.2

移动 $- n^{3} \sqrt{15 m n}$ 。

$3 m n \sqrt{n} + n^{5} \sqrt{15 m} - 5 n^{7} - n^{3} \sqrt{15 m n}$

解题步骤 3.2.3

移动 $3 m n \sqrt{n}$ 。

$n^{5} \sqrt{15 m} - 5 n^{7} + 3 m n \sqrt{n} - n^{3} \sqrt{15 m n}$

解题步骤 3.2.4

将 $n^{5} \sqrt{15 m}$ 和 $- 5 n^{7}$ 重新排序。

$- 5 n^{7} + n^{5} \sqrt{15 m} + 3 m n \sqrt{n} - n^{3} \sqrt{15 m n}$

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